カードが９枚入っているデッキが二つあるとします。
二つのデッキで相手に対して使うカードは、a,b,cの三種類。
Ａのデッキにはa,b,cがそれぞれ三枚積み、Ｂのデッキには二枚積みしてあって、Ｂにはドロー用のカードｄが３枚入っています。
Ａ＝{a,a,a,b,b,b,c,c,c} Ｂ＝{a,a,b,b,c,c,d,d,d}
ｄを引くと、自動的に次のカードが引ける、という効果にしておきましょう（何ターン目に引いたかで場合分けするのが大変なので）。
さて、デッキＡとデッキＢの間には、一体どんな違いが生じるでしょうか・・・
・目的
ドロー用のカードを積むことの是非を問います。
一般的には「ドロー用のカードを搭載するとカードが手に入れやすくなる」と言われていますが、これは果たして本当なのでしょうか。
ドローに使うカードを一枚入れるということは、他のカードが一枚減るということです。
枚数を減らされてしまったカードは出てきにくくなるわけで、せっかくドローしても帰って出てこなくなってしまうかもしれません。
そこで、９枚のミニモデルを使って、相手に向かって使うa,b,cを一枚ずつ削ってドローを３枚投入した時、何が起こるのかを計算してみました。
枚数の減ったa,b,cが出てくる確率は、下がってしまうのでしょうか？それとも上がるのでしょうか？
・ｄの役割
「自動的に次のカードを引く」と書きましたが、実際にｄによって何が起こるのかをご説明しなくてはいけません。
dの機能は、一言でいえば、ＢをＢ＝{a,a,b,b,c,c}に圧縮することです。
「次のカードを引く」という操作は、ｄを引いたことがなかったことになり、新しくカードを引き直すということを意味します。
dによってdをドローしてしまった場合も、自動的にもう一度引き直すわけで、そうなるとデッキ全体からdが抜け落ちる格好になるのです。
少なくとも、「dを引いたせいでほかのカードが引けなかった」ということはなさそうな気がしてきましたね。
１．各ターンにa,b,cがそろう確率
ドロー用のカードをつかうと、まんべんなくカードが出てきやすくなるというお話をしたことがありましたね。
今回は、その検証を行います。
Ａ，Ｂそれぞれのデッキで、各ターンの終わりまでにa,b,cがそろう確率を算出してみましょう。
５ターン目の確率には、３ターン目、４ターン目ですでに出てきてしまっている場合を含めます。
真夜中に計算したのでだれか数値が合ってるか検討して下さると助かります。
Ａのデッキでは、
１、２ターン目：二枚しか引いていないのでそろいようがない。
３ターン目：a,b,cそれぞれ３枚のうちから一枚選ぶので、3*3*3／(9Ｃ3) = 3*3*3（3*2)／9*8*7 = 9/28 = 45/140
４ターン目：二枚出ているのがa,b,cのどれかで３通り、２枚引いた１種に３枚のうちどれが含まれないかで３通り、残り二種がそれぞれ３通り。
3*3*3*3/(9Ｃ4) = 3*3*3*3(4*3*2)/9*8*7*6 = 9/14 = 18/28 = 90/140
５ターン目：ここから先は残りの部分を考えよう。
a,b,cのうち、どれか一つが残りの部分にかたまってなければＯＫだ。
残り４枚のうち、３枚はa,a,aかb,b,bかc,c,cなので、まず３通り。残り６枚から１枚選ぶので６通り。
1-6*3/(9Ｃ4) = 1-6*3(4*3*2)/9*8*7*6 = 1-1/7 = 6/7 = 24/28 = 120/140
６ターン目：残り３枚は全て同じ種類のカードなので、a,b,cの３通り。
1-3/(9Ｃ3) = 1-3(3*2)/9*8*7 = 1-1/28 = 27/28 = 135/140
７ターン目：残り２枚なので、必ずそろう。
1 = 140/140
Ｂのデッキは実質｛a,a,b,b,c,c｝になっているので、
１，２ターン目：二枚しか弾いていないのでそろいようがない。
３ターン目：３種それぞれで二つから一つ選ぶ。
2*2*2/(6Ｃ3) = 2*2*2(3*2)/6*5*4 = 2/5 = 56/140
４ターン目：残っているカードを考える。
二枚残っているカードが同じ種類になる。
1-1/5 = 4/5 = 112/140
５ターン目：一枚しか残っていないので必ず三種そろう。
1 = 140/140
ドローを含むＢの方が、フル３枚積みのＡよりより高い数値を出しました。
分子の差をとると１１、２２、２０、５、０と、Ｂが１００%に達するまでは差が次第に大きくなっています。
かなり単純化された実験でしたが、「ノーコストで１ドローできるカードがあったら超強い」というのは確かなようです。
２．各ターンにaを取得できている確率
Ａのデッキは、
１ターン目：3/9 = 1/3 = 140/420
２ターン目：一枚も手に入れていない確率を全体から引きます。
２枚にbかcしか含まれていないので、6Ｃ2通り。
1-(6Ｃ2)/(9Ｃ2) = 1-6*5/9*8 = 1-5/12 = 7/12 = 245/420
３ターン目：３枚にbかcしか含まれていないので、6Ｃ3通り。
1-(6Ｃ3)/(9Ｃ3) = 1-6*5*4/9*8*7 = 1-5/21 = 16/21 = 320/420
４ターン目：４枚にbかcしか含まれていないので、6Ｃ4 通り。
1-(6Ｃ4)/(9Ｃ4) = 1-6*5*4*3/9*8*7*6 = 1-5/42 = 37/42 = 370/420
５ターン目：残りの部分に含まれているカードを考えます。
aが３枚とbかc１が枚なので、６通りです。
1-6/(9Ｃ4) = 1-6(4*3*2)/9*8*7*6 = 1-1/21 = 20/21 = 400/420
６ターン目：３枚全てaなので、１通り。
1-1(9Ｃ3) = 1-3*2/9*8*7 = 1-1/84 = 83/84 = 415/420
７ターン目：残り二枚なので、すでにaは出ている。
1 = 420/420
Ｂのデッキは、
１ターン目：2/6 = 1/3 140/420
２ターン目：aを引かない確率を求める。
２枚ともbかcなので、4Ｃ2通り。
1-(4Ｃ2)/(6Ｃ2) = 1-4*3/6*5 = 1-2/5 = 3/5 = 252/420
３ターン目：残りの部分を考える。
残っているのはa２枚とbかc１枚で、４枚から一枚選ぶので４通り。
1-4/(6Ｃ3) = 1-4(3*2)/6*5*4 = 1-1/5 = 4/5 = 336/420
４ターン目：残り２枚はともにaなので１通り。
1-1/(6Ｃ2) = 1-2/6*5 = 1-1/15 = 14/15 = 392/420
５ターン目：残りが一枚しかないので、すでにaは出ている。
1 = 420/420
こちらも全ての段階においてＢの方が高い数値を出しています。
分子の差をみると７，１６，２２，２０，５，０ですから、100％になるまでは差が次第に大きくなっています。
・注意
今回設定したdの効果は、計算を簡単にするためのやや強引なものです。
始めは「未使用のdを持っていると、次のターンのドローが２枚になる」効果で検討し、場合分けが多くなって挫折してしまいました。
そのため、実験結果もやや人工的であることをまず始めに断っておきます。
実際のドローカードは、マナコストを消費しなければ働きませんし、ドロー枚数も複数だったりします。
ですから、ドローカードより軽いカードはドローの恩恵にあずかることができなかったり、ドロー後の確率変動がdより多かったり・・・
いろいろと異なった部分が出てきます。
また、Ｂデッキを作るときにa,b,cから一枚ずつdに搭載枠を融通していますが、これも意図的なものです。
実際のデッキでは、カードを４枚フル搭載して、さらにドロー用カードを使って入手確率を水増しすることもあります。
しかし、今回の実験で重要なのは「ドロー用のカードを搭載すると他のカードが積めなくなる」現象です。
スロット上の問題を絡めて考えるために、a,b,cの搭載枚数が犠牲になった状況を作り出しているわけです。
・結論
他のカードa,b,cを一枚ずつドローカードdに差し替えることで、カードの取得率が全体的に上がりました。
デッキ内の他のカードを削っても、減らしたカードの取得率がむしろ高まるというのは、非常に面白い結果ですね。
少なくとも、「ドローしても、ドローを入れたら他のカードの枚数が減るから逆に出てこなくなる」ということはなさそうです。
結果に対して疑問の余地があれば、ドローカードdの効果がエナジーライトやハッスルキャッスルにあまり似ていないところでしょう。
実際のドローカードはもちろんコストを支払わなければならないので、ドローより軽いカードはサポートできません。
また、ドローで一ターンつぶれてしまうので、ドローばかりしていると身動きがとれません。
逆に、一枚のドローで複数のカードを引いてこれるので、山札の枚数を疑似的に減らす効果はdより高かったりします。
もちろん、ドローに使うカードにも様々な種類があり、それらの性能だってまちまちです。
フェアリーキャンドルのようなカードもあれば、ハッスルキャッスルも、ドルゲーザもあります。
dは、そういったカードのうちの１枚にすぎません。
今回は、ミニマムデッキにおいてdが活躍することを示せただけで良しとしましょう。
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